If Michael can shovel all the snow of a standard driveway in 12 minutes, and Emon can shovel all the snow of a standard driveway in 36 minutes, then working together, how many minutes would it take for them both to shovel all the snow of a standard driveway?

বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Different Angles)

ত্রিকোণমিতিতে কিছু নির্দিষ্ট কোণের (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) মান অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এই মানগুলো পরীক্ষায় বারবার ব্যবহৃত হয়।

মানক কোণগুলোর ত্রিকোণমিতিক মান (Standard Values)

0° এর মান

• sin 0° = 0
• cos 0° = 1
• tan 0° = 0
• cot 0° = অনির্ধারিত
• sec 0° = 1
• cosec 0° = অনির্ধারিত

30° এর মান

• sin 30° = 1/2
• cos 30° = √3/2
• tan 30° = 1/√3
• cot 30° = √3
• sec 30° = 2/√3
• cosec 30° = 2

45° এর মান

• sin 45° = 1/√2
• cos 45° = 1/√2
• tan 45° = 1
• cot 45° = 1
• sec 45° = √2
• cosec 45° = √2

60° এর মান

• sin 60° = √3/2
• cos 60° = 1/2
• tan 60° = √3
• cot 60° = 1/√3
• sec 60° = 2
• cosec 60° = 2/√3

90° এর মান

• sin 90° = 1
• cos 90° = 0
• tan 90° = অনির্ধারিত
• cot 90° = 0
• sec 90° = অনির্ধারিত
• cosec 90° = 1

মনে রাখার সহজ কৌশল (Shortcut Method)

ত্রিকোণমিতিক মান মনে রাখার সহজ নিয়ম:

sin θ → 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1
cos θ → উল্টো ক্রমে

টেবিল আকারে সংক্ষেপ

0° → 30° → 45° → 60° → 90°

sin: 0 → 1/2 → 1/√2 → √3/2 → 1
cos: 1 → √3/2 → 1/√2 → 1/2 → 0
tan: 0 → 1/√3 → 1 → √3 → অনির্ধারিত

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• 45° এ sin = cos
• 30° ও 60° পরস্পরের পরিপূরক কোণ
• 90° এ cos শূন্য হয়, তাই tan অনির্ধারিত

মনে রাখার কৌশল

“0 থেকে 1 পর্যন্ত sin বাড়ে, আর cos কমে”

বিশেষ কিছু কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

30°, 45° ও 60° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

30° ও 60° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত :

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ বের করি :

45° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত :

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

আমরা জানি যে, দুইটি সূক্ষ্মকোণের পরিমাপের সমষ্টি 90° হলে, এদের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলা হয়। যেমন, 30° ও 60° এবং 15° ও 75° পরস্পর পূরক কোণ।

সাধারণভাবে, θ কোণ ও ( 90° – θ) কোণ পরস্পরের পূরক কোণ

উপরের সূত্রগুলো নিম্নলিখিতভাবে কথায় প্রকাশ করা যায় :

পূরক কোণের sine = কোণের cosine

পূরক কোণের cosine = কোণের sine

পূরক কোণের tangent = কোণের cotangent ইত্যাদি।

0° ও 90° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

আমরা সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ θ এর জন্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলো নির্ণয় করতে শিখেছি। এবার দেখি, কোণটি ক্রমশঃ ছোট করা হলে ত্রিকোণমিতির অনুপাতগুলো কীরূপ হয়। θ কোণটি যতই ছোট হতে থাকে, বিপরীত বাহু PN এর দৈর্ঘ্য ততই ছোট হয়। P বিন্দুটি N বিন্দুর নিকটতর হয় এবং অবশেষে θ কোণটি যখন 0° এর খুব কাছে অবস্থিত হয়, OP প্রায় ON এর সাথে মিলে যায়।

θ সূক্ষ্মকোণ হলে আমরা দেখেছি

0° কোণের জন্য সম্ভাব্য ক্ষেত্রে এ সম্পর্কগুলো যাতে বজায় থাকে সে দিকে লক্ষ রেখে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

0 দ্বারা ভাগ করা যায় না বিধায় cosec 0° ও cot 0° সংজ্ঞায়িত করা যায় না।

আবার, যখন θ কোণটি 90° এর খুব কাছে, অতিভুজ OP প্রায় PN এর সমান। সুতরাং, sin θ এর মান প্রায় 1 । অন্যদিকে, θ কোণটি প্রায় 90° এর সমান হলে ON শূন্যের কাছাকাছি; cos θ এর মান প্রায় 0।

দ্রষ্টব্য : ব্যবহারের সুবিধার্থে 0, 30, 45, 60° ও 90° কোণগুলোর ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর মান নিচের ছকে দেখানো হলো :

লক্ষ করি : নির্ধারিত কয়েকটি কোণের জন্য ত্রিকোণমিতিক মানসমূহ মনে রাখার সহজ উপায়।

উদাহরণ ১৩. মান নির্ণয় কর :

সমাধান :

সমাধান :